拉格朗日乘子：等值线与约束相切

在约束曲线上滑动，找两梯度平行（目标等值线与约束相切）的那一点 = 约束最优。

无约束最优（山顶） g(x)=0 约束 ∇f ∇g 驻点条件 ∇f = λ ∇g L(x,λ) = f(x) − λ g(x) 两梯度平行 ⇔ 等值线与约束相切 套用：多项分布 MLE 目标 f：对数似然 Σ m_k log μ_k 约束 g：Σ μ_k = 1 μ_k = m_k / N 梯度平行 ⇒ m_k/μ_k = λ（同一常数） 「频率即概率」
点「播放」从无约束山顶开始。
💡 拉格朗日乘子 = 在约束面上找∇f 与 ∇g 平行（等值线相切）的点；多项 MLE 由此得 μ_k = m_k/N，即计数比。